比特派錢包蘋果版本app下載|懸鏈線

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• 2024-03-13 23:44:48

懸鏈線_百度百科

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懸鏈線方程的推導(dǎo) - 知乎

懸鏈線方程的推導(dǎo) - 知乎切換模式寫文章登錄/注冊(cè)懸鏈線方程的推導(dǎo)知乎用戶jyXpnM因?yàn)橛?jì)算過程會(huì)出現(xiàn)雙曲函數(shù)，所以先簡(jiǎn)單了解一下雙曲函數(shù)在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)（也叫圓函數(shù)）類似的函數(shù)。最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù) sinh 和雙曲余弦函數(shù) cosh ，從它們可以導(dǎo)出雙曲正切函數(shù) tanh 等，其推導(dǎo)也類似于三角函數(shù)的推導(dǎo)。雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù)，有反雙曲正弦函數(shù) arcsinh ，反雙曲余弦函數(shù) arccosh ，反雙曲正切函數(shù) arctanh 。雙曲函數(shù)的定義和三角函數(shù)有如下關(guān)系sinhx=-isinix coshx=cosix tanhx=\frac{sinhx}{coshx}=\frac{-isinix}{cosix}=-itanix i 是虛數(shù)單位sinhx 和 tanhx 都是奇函數(shù)， sinh(-x)=-sinhx ， tanh(-x)=-tanhx coshx 是偶函數(shù)， cosh(-x)=coshx 雙曲正弦和雙曲余弦導(dǎo)數(shù)關(guān)系:(求導(dǎo)方式就是把虛數(shù)單位 i 當(dāng)成常數(shù)，其它步驟一樣)(sinhx)'=coshx (coshx)'=sinhx 雙曲函數(shù)還可以用指數(shù)函數(shù)來表示根據(jù)歐拉公式 e^{ix}=cosx+isinx 得 e^{x}=e^{i(-ix)}=cosix-isinix=coshx+sinhx e^{-x}=e^{i(ix)}=cosix+isinix=coshx-sinhx 即 sinhx=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} ， coshx=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} 接下來看懸鏈線懸鏈線是一根密度均勻的繩子或鐵鏈兩端固定在水平桿上，受重力的作用自然下垂后形成的曲線既然能保持平衡，那這根繩子上一定處處都滿足二力平衡。繩子受到重力以及自身張力假設(shè)一條不可伸長(zhǎng)的線密度為 \rho 的繩子處于重力加速度為 g 的重力場(chǎng)中，取繩子上某一小段受力分析，這小段在 x 軸上的投影是 dx 小段繩子和水平面夾角的正切值就是懸鏈線方程在那一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) y' 可以證明，這段繩子的長(zhǎng)度為 dl=\frac{dx}{cos\theta}=\sqrt{1+tan^{2}\theta}dx=\sqrt{1+y'^{2}}dx 圖為受力分析所受重力為 mg=\rho dl=\rho g\sqrt{1+y'^{2}}dx ，受到的它前面那段繩子的拉力為 T(x+dx)=(T_{x}(x+dx),T_{y}(x+dx)) ，且 T_{y}=T_{x}y' ，它對(duì)后面那段繩子的拉力為 T(x)=(T_{x}(x),T_{y}(x)) 。所以這段繩子受到的合力為 F=T(x+dx)-T(x)+mg=(\frac{dT_{x}}{dx}dx，\frac{dT_{y}}{dx}dx-\rho g\sqrt{1+y'^{2}}dx)=(0,0) \frac{dT_{x}}{dx}=0 ，所以 T_{x}=c ，橫向的張力是一個(gè)定值。又有 \frac{dT_{y}}{dx}=\rho g\sqrt{1+y'^{2}} ，且T_{y}=T_{x}y'=cy'，所以 \frac{dT_{x}y'}{dx}=\frac{cdy'}{dx}=cy''=\rho g\sqrt{1+y'^{2}} 就得到了懸鏈線的微分方程 y''=k\sqrt{1+y'^{2}} 分離變量 y''=\frac{dy'}{dx}=k\sqrt{1+y'^{2}} ， \frac{1}{\sqrt{1+y'^{2}}}dy'=kdx \int_{}^{}kdx=\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+y'^{2}}}dy' 令 y'=it ，即 dy'=idt ， i 是虛數(shù)單位\int_{}^{}kdx=kx+c_{1}=\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+y'^{2}}}dy'=i\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt=iarcsint=iarcsin(-iy') 所以 y'=isin(-i(kx+c_{1}))=-isin(i(kx+c_{1}))=sinh(kx+c_{1}) y'=sinh(kx+c_{1}) y'=\frac{dy}{dx}=sinh(kx+c_{1}) ， dy=sinh(kx+c_{1})dx\int_{}^{}dy=y=\int_{}^{}sinh(kx+c_{1})dx=\frac{1}{k}cosh(kx+c_{1})+c_{2} 把 \frac{1}{k} 記為 a ，得到懸鏈線方程 y=acosh(\frac{x}{a}+c_{1})+c_{2} 可以看出c_{1} ， c_{2} 和坐標(biāo)原點(diǎn)的選取有關(guān)，如果把懸鏈線的頂點(diǎn)選在坐標(biāo)原點(diǎn)(頂點(diǎn) y'=0 )那么 c_{1}=0 ， c_{2}=-a ，懸鏈線方程為 y=a(cosh\frac{x}{a}-1) 也可以用指數(shù)函數(shù)表示 y=a\frac{e^{\frac{x}{a}+c_{1}}+e^{-(\frac{x}{a}+c_{1})}}{2}+c_{2} 懸鏈線的方程和密度 \rho 以及重力加速度 g 的大小無關(guān)。如果原先定好了鐵鏈的長(zhǎng)度是 l 的話可以通過 l=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{1+y'^{2}}dx 求出 a ( x_{1} , x_{2} 是兩個(gè)懸掛點(diǎn)的位置)。不過也只能得到 l=asinh(\frac{x_{1}}{a}+c_{1})-asinh(\frac{x_{2}}{a}+c_{1}) 沒法用初等函數(shù)表示出 a=f(l) 的形式補(bǔ)充一下將雙曲函數(shù)進(jìn)行泰勒展開后 y=cosh{\frac{x}{a}}=1+\frac{(\frac{x}{a})^{2}}{2!}+\frac{\left( \frac{x}{a} \right)^{4}}{4!}+\frac{(\frac{x}{a})^{6}}{6!}+...... 保留前兩項(xiàng) y=1+\frac{x^{2}}{2a^{2}} 不難看出 a 比較大的時(shí)候雙曲函數(shù)和二次函數(shù)是比較像的這大概就是為什么歷史上曾認(rèn)為懸鏈線是拋物線的原因......如果這根繩子不是不可伸長(zhǎng)的繩子，而是符合胡克定律的彈性繩，而且下垂時(shí)每一段小繩子只會(huì)在縱向發(fā)生形變(其實(shí)這種性質(zhì)更像縱向變形的均勻桿)。這種繩子只有縱向張力沒有橫向張力?？v向張力滿足 T=k\frac{dy}{dx} ，這種繩子自由下垂形成的曲線是拋物線證明如下，假設(shè)繩子的線密度是 \rho ，重力加速度是 g 繩子的合力 F=T(x+dx)-T(x)+mg=\frac{dT}{dx}dx-\rho gdx=0 得 \frac{dT}{dx}=\rho g ，即 \frac{dT}{dx}=\frac{dk\frac{dy}{dx}}{dx}=k\frac{d^{2y}}{dx^{2}}=ky''=\rho g 這個(gè)曲線的微分方程為 y''=\frac{\rho g}{k} 解得 y=\frac{\rho g}{2k}x^{2}+c_{1}x+c_{2} 編輯于 2021-06-09 12:17物理科普力學(xué)懸鏈線?贊同 249??32 條評(píng)論?分享?喜歡?收藏?申請(qǐng)

建筑中的微笑曲線--懸鏈 - 知乎

建筑中的微笑曲線--懸鏈 - 知乎首發(fā)于結(jié)構(gòu)思考切換模式寫文章登錄/注冊(cè)建筑中的微笑曲線--懸鏈iStructure作者：楊笑天形是力的圖解。形與力相結(jié)合的形態(tài)，廣泛存在于自然界和生活中。比如，森林中懸垂的藤蔓、粘著露水的蛛絲，以及人類建造的吊橋和輸電線，都是形與力高度結(jié)合的懸鏈線 Catenary 形態(tài)?！?粘著露水的蜘蛛網(wǎng) ▲ 鐵塔之間懸垂的電線▲ Capilano suspension bridge, Canada 形 與 力 早在1490年，達(dá)芬奇繪制《抱銀貂的女人》時(shí)，曾提出一個(gè)問題。女人戴的項(xiàng)鏈的形狀，即在均勻重力作用下，項(xiàng)鏈自然下垂的形態(tài)是什么？▲ 抱銀貂的女人，達(dá)芬奇，1490年伽利略錯(cuò)誤地猜測(cè)懸鏈曲線也是拋物線。直到1690年雅各布·伯努利正式提出懸鏈線問題，向數(shù)學(xué)界征求答案。1691年他的弟弟約翰·伯努利和萊布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的數(shù)學(xué)表達(dá)式--雙曲余弦函數(shù)?！?用微積分推導(dǎo)懸鏈線的過程值得說明的是，合理的曲線形態(tài)與荷載有關(guān)。如下圖所示，沿跨度投影方向均布的豎向荷載作用下，合理形狀是二次拋物線。在沿著構(gòu)件單元長(zhǎng)度均布的荷載下，是懸鏈線。在沿著曲線法線的均布荷載下，合理形狀則是圓弧 (想象一下肥皂泡)。有趣的是，它們時(shí)常以看似“相反”的形式出現(xiàn)。比如，美國圣路易斯的杰斐遜紀(jì)念拱門，主要豎向荷載是拱的自重，因此它的合理形狀是懸鏈線。而我們常見的懸索橋，主要荷載是沿跨度方向均布的橋面，它的形狀反而是拋物線?！?杰斐遜紀(jì)念拱門，高 192 米：懸鏈線拱▲ 舊金山金門大橋：拋物線形狀的懸索實(shí)際上，拋物線和懸鏈線的形狀差別并不大。對(duì)于能承受一定彎矩的剛性結(jié)構(gòu)來說，這種差別帶來的影響不大。但對(duì)于零彎矩的柔性結(jié)構(gòu)，形態(tài)尤為重要。初始的形態(tài)偏離越多，加載后的形變?cè)酱蟆? 懸 鏈 拱 早在17世紀(jì)，發(fā)現(xiàn)彈性定律的科學(xué)家羅伯特·胡克提出，“將懸掛的柔性曲線翻轉(zhuǎn)形成拱”?！?As hangs a flexible cable so, inverted, stand the touching pieces of an arch."】▲ 胡克和他的發(fā)明 (手持懸鏈線)高迪 與 逆吊法19世紀(jì)70年代，安東尼奧·高迪(1852-1926) 率先在建筑設(shè)計(jì)中嘗試使用懸鏈逆吊法，通過實(shí)驗(yàn)手段探索空間形態(tài)?！?高迪設(shè)計(jì)的吊掛試驗(yàn)?zāi)Ｐ丸F鏈在自重下呈懸鏈線形態(tài)高迪在圣家大教堂和巴特由之家等建筑中，都經(jīng)常使用懸鏈拱，在燈光和色彩的襯托下，構(gòu)成一個(gè)奇幻的視覺空間?！?高迪設(shè)計(jì)的懸鏈拱杰斐遜紀(jì)念拱門說到紀(jì)念碑，人們都會(huì)聯(lián)想到厚重的雕塑形象，而由建筑師埃羅·沙里寧設(shè)計(jì)的杰斐遜紀(jì)念拱門(Gateway Arch)則是一個(gè)特例。▲ 懸鏈線形的杰斐遜紀(jì)念拱門 (1967)高 192 米，建筑師Eero Saarinen它是一個(gè)矢高和拱腳跨度均為192米的懸鏈形拱。拱身斷面為等邊三角形，從下到上逐漸收小。拱身外包不銹鋼板，表現(xiàn)出雕塑感。▲ 拱門不銹鋼表皮的質(zhì)感拱門的懸鏈曲線由數(shù)學(xué)家給出公式定義。如果把拱門的曲線與懸鏈線、拋物線做對(duì)比，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)懸鏈線與拱門完全貼合，而拋物線在拱身有比較大的偏差?！?懸鏈拱門的曲線公式（單位為英制）▲ 拱門與懸鏈線、拋物線對(duì)比 淺綠色為懸鏈線，洋紅色為拋物線▲ 施工中的操作平臺(tái)和三角形結(jié)構(gòu)斷面懸鏈形拱門抵抗著巨大自重和風(fēng)荷載的同時(shí)，也上演了光與影、力度與纖細(xì)的相互交織。在拱頂有一個(gè)觀光瞭望廳，那么如何上去呢？其實(shí)三角形斷面內(nèi)是一個(gè)空腔，內(nèi)藏著樓梯通道和膠囊有軌電車，便于人們上下。講一個(gè)小故事。建造杰斐遜紀(jì)念拱門時(shí)，兩個(gè)拱腳同時(shí)開始建設(shè)。兩邊即將在頂點(diǎn)匯合的那天，有一萬人來見證拱心石的安裝。當(dāng)工人把“拱心石”吊裝到位時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)預(yù)留的間隙小了130mm。原來是陽光照在拱表面，引起了不均勻的溫度伸長(zhǎng)和微微彎曲變形。于是消防員用噴水降溫，在整體位置校正無誤后，才能嵌入“拱心石”。然后又用千斤頂把拱頂撬開1.8m，以抵消拱腳懸臂施工的彈性變形，最終拱頂完全封閉固定。限于篇幅，其它幾個(gè)懸鏈拱項(xiàng)目不便展開。 ▲ 布達(dá)佩斯火車站 ▲ 瑞士博覽會(huì)水泥館(1939)，懸鏈拱形薄殼結(jié)構(gòu) 結(jié)構(gòu)師：羅伯特?馬亞爾（1872-1940)跨度16m，矢高12m，拱頂厚度僅為6cm懸 鏈 屋 面 懸鏈屋面與懸鏈拱相比，有兩個(gè)特點(diǎn)：1. 限于建筑使用功能的要求，懸鏈屋面的垂度(矢高)小，顯得比較扁平，由此導(dǎo)致懸鏈兩端巨大的水平反力，需要強(qiáng)大的反力構(gòu)件?！?懸鏈屋面的反力構(gòu)件方案2. 懸鏈?zhǔn)切闻c力高度適應(yīng)的結(jié)果，在均勻荷載下效率非常高，但對(duì)集中荷載、不均勻荷載的適應(yīng)能力差，因此懸鏈屋面應(yīng)具有必要的剛度。杜勒斯機(jī)場(chǎng)航站樓 華盛頓杜勒斯機(jī)場(chǎng)航站樓，由建筑師埃羅·沙里寧設(shè)計(jì)。航站主樓最大的特點(diǎn)是大跨度懸吊屋面，猶如老鷹般優(yōu)雅展翅。據(jù)說其設(shè)計(jì)靈感是系在兩根樹之間的吊床。 ▲ 杜勒斯機(jī)場(chǎng)航站樓 Dulles International Airport, 1962在重力荷載下，屋面自然下垂成懸鏈狀，巨大的混凝土柱子向外傾斜，用以平衡和抵抗懸索端部的水平力。▲ 建筑剖面簡(jiǎn)圖懸鏈的水平拉力 與斜柱軸力的水平分量平衡航站樓懸垂屋蓋跨度約43米，提供了十分開闊的空間，整個(gè)大廳內(nèi)部沒有任何立柱的阻礙?！?施工中: 斜柱與柱頂水平反力梁 里斯本世博會(huì)葡萄牙館1998里斯本世博會(huì)葡萄牙館，是建筑師西扎與結(jié)構(gòu)師巴爾蒙德合作設(shè)計(jì)的。最有吸引力的部分無疑是一片長(zhǎng)67.5米，寬50多米的半開敞公共大廳。▲ Portugal Pavilion，EXpo1998，LiSboa▲ 里斯本世博會(huì)葡萄牙館剖面示意圖20cm厚的白色混凝土包裹著高強(qiáng)鋼索，懸鏈屋面跨越了近70m，卻輕盈得像是一條毛毯。結(jié)構(gòu)的精妙之處在于，用極輕巧的懸索結(jié)構(gòu)強(qiáng)化了結(jié)構(gòu)的感知。預(yù)拉力是受壓混凝土與受拉鋼索整合在一起的根本。對(duì)鋼索施加預(yù)應(yīng)力使混凝土受壓，既保證混凝土不開裂；又依靠混凝土薄板提供必要的剛度，以自重抵抗風(fēng)吸力，并?！?施工過程對(duì)預(yù)應(yīng)力控制簡(jiǎn)圖建筑兩側(cè)巨柱以夸張的尺寸暗示著拉力的存在，厚重的巨柱與輕薄屋面形成鮮明的對(duì)比。精妙之處還在于，屋面混凝土板在兩端支座處戛然而止，以狹縫斷開，暴露出鋼索，清晰地表達(dá)出結(jié)構(gòu)的邏輯，有著千鈞系一發(fā)的緊張感?！?混凝土板與支座間的暴露的鋼索陽光從狹縫照進(jìn)來，帶來有趣的光影變化?！?光影的變化長(zhǎng)野奧林匹克紀(jì)念體育館M波浪(M-Wave)，是1998年長(zhǎng)野冬奧會(huì)速滑比賽場(chǎng)館。屋頂形狀意象取自信州的山脈，像波浪一樣連綿不斷。從建筑草圖中我們可以看到，方案之初建筑師即受到杜勒斯機(jī)場(chǎng)航站樓懸鏈屋面的啟發(fā)。不同的是它采用了當(dāng)?shù)禺a(chǎn)的落葉松的層壓板木材，富于獨(dú)創(chuàng)性?！?建筑方案草圖M形屋蓋由15個(gè)單元組成，每個(gè)單元寬約18米，縱向長(zhǎng)216米，以其僅僅30cm的厚度，創(chuàng)造出跨度達(dá)到80m的無柱空間，并且抵擋著當(dāng)?shù)貒?yán)酷的風(fēng)雪荷載?！?建筑模型，藏于東京建筑倉庫▲ 建筑結(jié)構(gòu)構(gòu)造解析圖限于篇幅，其它懸鏈屋面項(xiàng)目不便展開。 ▲ Municipal swimming pool懸鏈線，是形與力關(guān)系的最好詮釋，是廣泛存在于自然界和生活中的優(yōu)雅，是建筑中一抹微笑曲線。最后，如果您讀到這里對(duì)懸鏈線感興趣，不妨嘗試著構(gòu)造一個(gè)杰斐遜紀(jì)念懸鏈拱門的模型。Grasshopper提供了懸鏈線電池，以下是杰斐遜紀(jì)念拱門的數(shù)學(xué)表達(dá)和參數(shù)，更詳線的參數(shù)取值請(qǐng)查閱維基百科。f c = 625.0925 ft (191 m) 為拱的頂點(diǎn)高度；L = 299.2239 ft (91 m)為兩個(gè)拱腳跨度的一半；Qb = 1,262.6651 sq ft (117 m2) 為拱腳等邊三角形斷面的面積； Qt = 125.1406 sq ft (12 m2) 為拱頂?shù)冗吶切螖嗝娴拿娣e；斷面三角形從下向上隨著高度線性變化。參考資料：1. 結(jié)構(gòu).空間.界面的整合設(shè)計(jì)及表現(xiàn)，戴航,張冰著2. 日本結(jié)構(gòu)技術(shù)典型實(shí)例100選,日本建筑構(gòu)造技術(shù)者協(xié)會(huì)編,滕征本等譯3. 維基百科相關(guān)延伸閱讀(鏈接)拱的力量結(jié)構(gòu)形態(tài)優(yōu)化的工程應(yīng)用從一個(gè)屋面說起——建筑方案怎么配交流合作我們很高興與結(jié)構(gòu)同行探討，也很愿意為建筑師提供結(jié)構(gòu)方案、咨詢建議、找形分析等。如有需求，請(qǐng)聯(lián)系小i 微信號(hào)，或者在公眾號(hào)首頁留言。歡迎交流討論！歡迎投稿！iStructure的初衷是分享建筑結(jié)構(gòu)領(lǐng)域的見聞、優(yōu)秀的設(shè)計(jì)和自己一些的思考，向更多人呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)有趣的一面。本文首發(fā)于iStructure公眾號(hào)，此為小i運(yùn)營的知乎賬號(hào)，希望能讓更多人了解不一樣的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。免責(zé)提示文章中部分圖片為網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)載，僅供分享不做任何商業(yè)用途，版權(quán)歸原作者所有。如有問題，請(qǐng)后臺(tái)聯(lián)系我們，我們會(huì)立即刪除，并表示歉意，謝謝！發(fā)布于 2019-04-24 20:25建筑結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)工程土木工程?贊同 83??5 條評(píng)論?分享?喜歡?收藏?申請(qǐng)轉(zhuǎn)載?文章被以下專欄收錄結(jié)構(gòu)思考思

懸鏈線方程——數(shù)學(xué)史上的難題之一，伽利略沒能求出，難在哪里？ - 知乎

懸鏈線方程——數(shù)學(xué)史上的難題之一，伽利略沒能求出，難在哪里？ - 知乎首發(fā)于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美切換模式寫文章登錄/注冊(cè)懸鏈線方程——數(shù)學(xué)史上的難題之一，伽利略沒能求出，難在哪里？康托的天堂?一個(gè)完美均勻且靈活的平衡鏈被它的兩端懸掛，并只受重力的影響，這個(gè)鏈子形成的曲線形狀被稱為懸鏈線。1690年，荷蘭物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、發(fā)明家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在給德國著名博學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨（Gottfried Leibniz）的一封信中創(chuàng)造了這個(gè)名字。懸鏈線與拋物線相似。意大利偉大的天文學(xué)家、物理學(xué)家和工程師伽利略是第一個(gè)研究懸鏈線的人，并錯(cuò)誤地將其形狀認(rèn)定為拋物線。1691年，萊布尼茨、惠根斯和瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利分別得出了正確的形狀。他們都是為了響應(yīng)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利（約翰的哥哥）提出的一項(xiàng)挑戰(zhàn)，即得到“懸鏈線”方程。圖1：從左到右分別是雅各布·伯努利，戈特弗里德·萊布尼茨，克里斯蒂安·惠更斯和約翰·伯努利?萊布尼茨和惠更斯發(fā)給雅各布·伯努利的圖如下所示。他們發(fā)表在《博學(xué)學(xué)報(bào)》上，這是歐洲德語國家的第一份科學(xué)期刊。圖1：萊布尼茨和惠更斯提交給雅各布·伯努利的答案。約翰·伯努利很高興，他成功地解決了他哥哥雅各布沒能解決的問題。27年后，他在一封信中寫道：我哥哥的努力沒有成功。就我而言，我更幸運(yùn)，因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)了這個(gè)問題的答案。對(duì)于我當(dāng)時(shí)的年齡和經(jīng)驗(yàn)來說，這是一個(gè)巨大的成就?！覞M心歡喜地跑到哥哥那里，他一直在苦苦地與這個(gè)難題作斗爭(zhēng)，卻沒有任何進(jìn)展，總是像伽利略一樣認(rèn)為這個(gè)鏈線是一個(gè)拋物線。我對(duì)他說，不要再折磨自己了，不要再試圖用拋物線來尋求懸鏈的方程了，因?yàn)槟鞘峭耆e(cuò)誤的?！s翰·伯努利求懸鏈線方程為求懸鏈線方程，作以下假設(shè)：懸鏈懸掛在兩點(diǎn)之間，靠自身重量懸掛。懸鏈?zhǔn)庆`活的，有一個(gè)統(tǒng)一的線性重量密度（等于w_0）。為了簡(jiǎn)化代數(shù)上的繁瑣，我們讓y軸通過曲線的最小值。從最小值到點(diǎn)(x, y)的線段長(zhǎng)度用s表示。作用在線段上的三個(gè)力分別為張力T_0和T以及它自身的重力w_0s（見下圖）。前兩個(gè)力與懸鏈相切。圖2：此圖包含計(jì)算中使用的參數(shù)和變量。要使每一段在水平和垂直上達(dá)到平衡，必須滿足以下兩個(gè)條件：式1：長(zhǎng)度為s的懸鏈的平衡條件。我們需要解的微分方程是：式2：我們要解的微分方程?，F(xiàn)在我們要把這個(gè)方程寫成y和x的形式。我們首先對(duì)它求導(dǎo)得到：式3：式2的導(dǎo)數(shù)。ds/dx的導(dǎo)數(shù)可以用dy/dx表示如下：式4圖3：式4中使用的無窮小三角形則式3為：式5：懸鏈線微分方程。為了快速求解式5，我們引入以下變量：式6：解方程5時(shí)u的定義利用式6，式5變成：式7：用變量u表示式5。?這個(gè)方程可以通過變量分離和一個(gè)簡(jiǎn)單的三角代換（u = tan θ）來積分：式8：積分后的式7。?因?yàn)閥軸經(jīng)過曲線的最小值：式9：變量u在曲線的最小值處為零。?將式9代入式8得到：式10：用式9求出式8中的c。?將c=0代入式8，求解u，得到：式11：方程5的解，得出了懸鏈線方程。圖4：三個(gè)懸鏈的例子。想了解更多精彩內(nèi)容，快來關(guān)注老胡說科學(xué)發(fā)布于 2021-06-06 21:46物理學(xué)力學(xué)微分方程?贊同 53??4 條評(píng)論?分享?喜歡?收藏?申請(qǐng)轉(zhuǎn)載?文章被以下專欄收錄發(fā)現(xiàn)數(shù)-1.6 %????

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